洪偉／飛毛腿真的追不上烏龜嗎？

在古希臘，科學尚未興起，神話與宗教據有解釋世界的重要地位。此時的哲學家，帶著獨特角度，對世界進行了與信仰不同的追問：在現象背後，世界真真正正是什麼樣子？世界本源（Arche¹）是什麼？

哲學家的「世界本源」意指構成世界的真正材質。哲學家對世界本源的猜想五花八門，例如原子論者主張萬物是由某些「基本粒子」構成，而被稱為歷史上第一位哲學家的泰勒斯（Thales of Miletus）則認為萬物都是水變成的。不同的哲學家選擇不同的東西來當作世界本源，也因此對於世界如何運作有不同看法。

在這些哲學家當中，芝諾（Zeno）非堂特別。芝諾的老師巴曼尼德斯（Parmenides）主張萬物的本源是一種叫做「太一」的東西。「太一」沒有空與實、有與無的區別，因此也不會發生變化。巴曼尼德斯和芝諾都認為，世界上其實沒有真正的運動和變動，如果你認為有，就是被假象給騙了。

「世界沒有任何變化？」這種令人髮指的說法若出現在現代，恐怕要讓許多人不知道該怎樣教小孩。為了支持這個誇張的哲學立場，芝諾想出了好幾個著名的悖論。芝諾提出的悖論，或許可說是哲學家使用思想實驗——協助思考的假想情況——的開端。

阿基里斯與烏龜

芝諾最有名的悖論叫作「阿基里斯與龜」。阿基里斯是希臘神話英雄，雖然擁有人類歷史中最脆弱的腳踝，但他是個飛毛腿。

即便如此，芝諾依然主張，只要烏龜先起跑，阿基里斯就無法超越牠：

• 要超過烏龜，阿基里斯必須先到達烏龜本來所在的位置。
• 到達烏龜本來所在的位置需要時間，所以當阿基里斯到達烏龜本來的位置時，烏龜已經又前進了一點點。
• 雖然只是一點點，但是阿基里斯依然需要時間追上去，這段時間不是0。
• 當阿基里斯再次到達烏龜本來的位置，烏龜又已經前進了一點點。
• 週而復始，每次，阿基里斯追上烏龜本來的位置，烏龜都會比本來更前進一點點，要追上去的時間都不是 0 。
• 阿基里斯永遠沒有超過烏龜的一天。

因此，芝諾主張，我們對運動和變化的理解是矛盾的，只是錯誤的假象。

我們大概不會想接受「只要烏龜先起跑，阿基里斯就永遠沒有超過烏龜的一天」這個荒謬的答案，但又很難迴避芝諾所提出的思維流程。

可怕的是，在之後的1000多年間，人類都無法給這悖論很好的解釋。數學上，芝諾悖論牽涉到的無限小量問題²，甚至被稱作「第二次數學危機」³。

芝諾錯在哪？

不過在今天，我們只需要高中數學的「無窮級數」的觀念，就能解釋「阿基里斯與龜」的問題。雖然這並不算是嚴格的解釋，但是基本上思路是正確的。為了簡化算數，我們以跑得遠比阿基里斯慢的阿草來舉例：

阿草的移動速度是羅哥的三倍，而羅哥比阿草先起跑一分鐘，所以跑在阿草前面 10 公分的位置。

我們首先考慮阿草奔跑（？）的距離。按照芝諾的算法，阿草跑10公分的時候，羅哥已經又前進10/3公分了；而當阿草跑10/3的時候，羅哥又向前了10/9公分；直至無窮。我們姑且將這樣的程序稱作「芝諾流程」。根據芝諾流程，阿草的奔跑總距離是一個公比為 1/3的無窮等比級數：

0 + 10 + 10/3 + 10/9 + 10/27 + ......（公分）

現在我們知道，這個無窮等比級數的值是15。也就是，在無限的芝諾流程中，阿草總共跑了15公分。在這同時，羅哥奔跑的距離也是一個公比為1/3的無窮等比級數：

10 + 10/3 + 10/9 + 10/27 + 10/81 + ......（公分）

因此在無限的芝諾流程中，阿草與羅哥都奔跑了 15 公分的距離。

那麼，跑這段距離需要多少時間呢？首先，羅哥往前跑10公分，先花了1分鐘。阿草為了追上這10公分，他必須花1/3分鐘。在這同時，羅哥又往前跑了10/3公分，需要10/3分鐘。阿草為了追上這10/3公分，他需要花10/9分鐘。因此在芝諾流程之下，阿草與羅哥都奔跑15公分的總時間就是這個公比為1/3的無窮等比級數：

1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ......（分鐘）

這個無窮等比級數的總和是3/2。總結來說，其實阿草只要3/2分鐘就能跑15公分追上也跑了15公分的羅哥，然後下一秒就可以超越他。

芝諾流程與兩種無限觀

不過芝諾流程在哲學上牽涉到另外一個困難的問題。

我在這裡再描述一次「芝諾流程」：它是一個無限的序列，也就是說，它的進展過程有無限多次。每一次進展都是一個新的項目：阿草往前進、阿草又往前進、阿草第三次往前進......無窮無盡。

關於無限序列，我想先說明兩種不同的無限觀念，一個是潛無限觀、一個是實無限觀：

• 潛無限觀：從「這個序列具有內在的無窮過程」來看這個流程；
• 實無限觀：從「在經過上述無窮過程後，整個序列真正地被完成了」來看這個流程。

這兩種無限觀看起來都很直覺，然而它們真的合理嗎？

比起實無限觀，我們似乎更容易接受潛無限觀，因為潛無限觀比較弱、預設比較少：實無限觀一旦成立，就等於承認有潛無限觀的無窮過程；但反過來說，就算承認潛無限觀，實無限觀也不一定成立。

簡單地說，若你認為無窮序列或程序的存在並不難理解，而且也合理，那你大概不會反對潛無限觀。但若你認為潛無限觀沒什麼好反對的，下一個問題就是：那你支持實無限觀嗎？

支持實無限觀會有什麼問題呢？這問題，我們可以將它稱作「內在超越問題」：

如果你承認實無限，那麼「有限」到「無限」之間的鴻溝究竟是如何跨越的？這個跨越似乎必須涉及一種直覺——這個無限持續的過程，在經過某種「超越」以後，就被完成了。

以前面的例子來說，根據數學，「1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ......」這個無限序列的總和是3/2。然而，一旦你承認這個明確的總和真的是加總完畢而存在，你其實就預設了實無限觀。否則，單從潛無限觀看來，就算一項一項相加下去，也沒有任何時候會真的抵達 3/2 ，頂多只是無限地接近它。

然而，如果只接受潛無限觀，而不接受實無限觀，我們又如何說明這個加總的意義呢？如果無限是無法完成的，那麼，從數學上，我們要怎麼說明阿草可以追過羅哥？

無限的內在超越，無論你接受與否，各自都產生了要面對的難題。

後記：思維能力的本質

這一段後記，寫給想進階思考更困難的哲學問題的讀者。

事實上，上述爭論在哲學史上以各種不同的模式一再出現。其中一個最深刻的高峰，是在德國啟蒙時代時，康德（Immanuel Kant）與黑格爾（Georg Wilhelm Friedrich Hegel）的思想對立。

康德基本上是實無限觀的反對者，他反對「內在超越」的思維，而是以「外在統攝」來解釋涉及無限的判斷。他並不認為有任何無限可以合法地被我們完成，而應該透過外在的概念結構，讓我們得以做出類似「最終得到......」的判斷。然而，這並不意謂無限真的被我們完成了，而只是潛在地可完成、然而我們有限的理智無法完成。

內在超越需要某種無限思維，而無限思維是容易犯錯的、不可靠的。康德曾經舉過這樣的例子：

一隻鴿子可能以為在沒有空氣的空中可以飛得最快。

相反地，黑格爾是實無限觀的堅定支持者，他認為康德說的那種無限思維並非是內在超越的全部。事實上，我們具有能做出合理內在超越的「無限的理智」。

康德的說法無法解釋有限如何達致無限判斷的問題，這是一種理智上的怯懦，甚至忽視了無限理智的創造力，特別是，透過無限思維創造概念的能力。

認為無法透過內在超越得出關於無限的判斷，事實上誤解了無限理智的真正功能：無限理智並不意味著無限的過程可以不受概念的規定。一旦我們能夠遵守這個序列進行的概念規定，那麼，我們的理智應該勇敢地進行無限思維，「唰」地一下完成一整個無限過程。

舉例來說，考慮一條往兩頭無限延長的線段，這條無限延長的有限線段，最終，經歷了無限的過程，是否成為無限長的直線？對黑格爾來說，這是肯定的，線段的無限延長，在無限的過程中可以超越線段，而成為一條直線。但對於康德來說，線段無法透過延長成為直線，然而，直線永遠都可以包含有限的線段，因此線段會無止盡地延長，而繼續被直線包含著，但沒有能成為直線的一天。

你覺得誰說得有道理？

表面上，芝諾悖論的問題似乎可以用數學簡單地得到結論，但深入來看，事實上牽涉到思維能力的本質：無限思維可能嗎？

每當我們採取了一種無限理論，我們似乎就必須問問自己，我是如何思考無限的？怎樣才是合法有效的思維呢？

• Arche 是一個古希臘文，我翻譯作「本源」，它同時具有第一原理、根源、根本等意義。
• 事實上，要突顯無限小量難題的更好例子是「飛矢不動」。
• 歷史上的數學危機總共有三次：第一次是「無理數的存在」被證明出來；第二次是文中提及的「無限小量問題」；第三次則是羅素的「理髮師悖論」：有一個理髮師主張幫且只幫鎮上所有「不幫自己理鬍子的人」理鬍子，那他要不要幫自己理鬍子呢？

• 洪偉，清大哲學所碩士，「偉恩與咖啡」部落格寫手，沃草烙哲學召集人之一，台北里山咖啡老闆。
• 特別感謝烙哲學社群提供的良好討論環境與參與者的協助。