張智皓／如果我把兩塊蛋糕都吃了：兩個案例看封閉原則問題
假設有個樂透活動，在一千萬張彩券中抽一張得獎。因為中獎機率極低，所以對於每一張彩券，我都可以合理相信它不會中獎，然而依照規則，我又應該相信至少有一張會中獎，這會構成矛盾嗎？在先前文章裡我們討論過，若透過放棄「合理相信原則」來解決樂透悖論，有哪些可能的方案，以及那些方案會有哪些後果，有些後果看起來不是很讓人滿意。在這篇文章，讓我們來考慮以「封閉性原則」開展的另一解題方向。
放棄封閉性原則
封閉性原則在知識論上相當重要，看起來也很符合直覺：
封閉性原則：如果P可以被S合理相信，而且Q也可以被S合理相信，則P與Q邏輯上蘊含的結果也可以被S合理相信。
這個原則在日常生活很常見：如果我可以合理相信教室裡有50名學生，我也可以合理相信教室有一半的學生學號是單號；那麼，我就可以合理相信班上有25名學生的學號是單號。結論可以從「教室裡有50名學生」與「教室有一半的學生學號是單號」經過邏輯推論出來。
封閉性原則在樂透悖論中扮演關鍵角色——我們基於合理相信原則而可以合理相信任意單一號碼的彩券沒中獎，從這些前提出發，封閉性原則可以得出「所有的彩券都沒中獎」這個結論，因為這個結論是任意單一號碼的彩券沒中獎的邏輯結果。
放棄封閉性原則，意味著就算我們可以合理相信任意單一號碼彩券沒中獎，這也不代表我們可以合理相信所有的彩券都沒中獎，因為前者不蘊含後者。然而，我們有沒有什麼好的理由放棄這個原則呢？
有些人可能為認為，光是這個原則會造成樂透悖論，就足以構成我們放棄它的好理由。但這顯然不足夠，我們不能僅因為放棄它可以解決樂透悖論，所以就以此為理由放棄它。否則，我們也同樣有好理由放棄其他原則（比方說，「合理相信原則」）不是嗎？要放棄封閉性原則，我們會需要其他獨立的理由或反例。
斑馬案例
讓我們參考Dretske（1970）的看法。1
斑馬案例：小明到動物園玩，看到面前的柵欄內有一隻斑馬，旁邊的告示牌也寫那是一隻斑馬。小明可以合理相信自己的視覺可靠，也可以合理相信告示牌是真的。但是小明未必可以合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」，因為小明似乎沒有任何證據可以排除這種可能性。
在這個例子中，基於小明的視覺經驗，以及旁邊的告示牌，我們會同意小明可以合理相信「柵欄裡有一隻斑馬」，接著，如果柵欄裡真的有一隻斑馬，則意味著柵欄裡不是一隻偽裝成斑馬的驢子。基於小明知道斑馬與驢子的差別，所以小明也可以合理相信「如果柵欄裡有一隻斑馬，則牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」。
如果封閉性原則是對的，那麼小明理當可以基於合理相信「柵欄裡有一隻斑馬」，與「如果柵欄裡有一隻斑馬，則牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」，而合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」，因為後者是前面兩個合理信念邏輯蘊含的結果。我們會同意在這個例子中，小明的確可以合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」嗎？
許多人似乎沒有這種直覺。他們認為小明不能合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」，因為小明沒有證據排除這可能性：他的視覺經驗不足以排除這點，而旁邊的告示牌也不行。因此，小明不能合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」。如果他們是對的，封閉性原則就有反例。
可能會有人覺得這個例子說服力不足，因為這邊似乎沒有哪一方的直覺是壓倒性的獲勝。有些人覺得小明可以合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」，因為「偽裝成斑馬的驢子」這種可能性在此情境中是不相干（irrelevant）的，要合理相信一個命題，只需要針對與命題相關的情境，提供相應的證據即可，而不需要對所有可能否定命題的情境都有相應的證據。比方說，在看到面前的水杯時，我不需要找證據去排除「自己是被瘋狂科學家養在營養液中的大腦」這樣的情境，即可合理相信我面前有個水杯。2
蛋糕案例
若覺得斑馬案例太有爭議性，我們也可考慮另一個可能反例：
蛋糕案例：媽媽告訴小明桌上有兩塊蛋糕，小明可以選擇把A蛋糕吃掉，也可以選擇把B蛋糕吃掉。因此，小明可以合理相信「吃掉A蛋糕不會被罵」，也可以合理相信「吃掉B蛋糕不會被罵」，但這不代表小明可以合理相信「兩塊蛋糕都吃掉不會被罵」，因為媽媽可能只允許他選一塊吃，而非兩塊都吃。3
在蛋糕案例中，基於媽媽告訴小明可以選擇吃A蛋糕，也可以選擇吃B蛋糕，我們會同意小明可以合理相信「吃掉A蛋糕不會被罵」，也可以合理相信「吃掉B蛋糕不會被罵」。如果封閉性原則是對的，這似乎也代表了小明可以合理相信「兩塊蛋糕都吃掉不會被罵」。然而，這樣的結果可能是有問題的，媽媽並沒有說小明可以兩塊都吃掉，有可能媽媽只容許小明吃一塊，另外一塊要分給其他人吃。
或許有人會想：在蛋糕案例中若把「媽媽要留一塊蛋糕給其他人」視為不相干的情境，小明就不需要排除這個可能性。如此，小明還是可以合理相信「兩塊蛋糕都吃掉不會被罵」。但這個替封閉性原則說話的方法，可能沒辦法像斑馬案例中那樣有說服力。
雖然我們並沒有提到如何判斷情境是否相關，但我們至少可以有一些初步的直覺來判斷這點。考慮面前的斑馬是驢子偽裝的可能性，或者自己是被科學家養在營養液裡的大腦的可能性，比起媽媽要留一塊蛋糕給其他人吃的可能性。我們還是會同意後者是比較相干的考量，或至少不是胡思亂想，而前者則否。4
然而，這是否意味著封閉性原則真的遭遇反例呢？或許未必。讓我們回到封閉性原則的定義，蛋糕案例要成為反例，根據封閉性原則，必須滿足「吃掉A蛋糕不會被罵」與「吃掉B蛋糕不會被罵」邏輯上蘊含「兩塊蛋糕都吃掉不會被罵」。但是，這點真的成立嗎？似乎不會。為什麼？這必須要回到「邏輯蘊含」這個概念來談。一般而言，「邏輯蘊含」是為了真值保存（truth preserving）。意思是指：當前提為真時，其邏輯蘊含的結果也可以被保證為真。
回到蛋糕案例，假設「吃掉A蛋糕不會被罵」與「吃掉B蛋糕不會被罵」都是真的，是否可以保證「兩塊蛋糕都吃掉不會被罵」？顯然不會，因為有可能你只被允許吃一塊蛋糕（不論是A或B）。如果前面兩個命題的真無法保證後者的真，那就表示前面兩個命題並不邏輯蘊含後者。如此，封閉性原則的支持者可以說，基於「邏輯蘊含」這項條件沒有被滿足，蛋糕案例無法成為反例，因此，封閉性原則依然尚未受到挑戰。
小結
本文提供了兩個獨立於樂透悖論的例子，分別為斑馬案例與蛋糕案例，這兩個案例一開始似乎都顯示了封閉性原則是有問題的。然而，經過前述分析，這兩個例子可能都存在有爭議，尚無法有力的擊倒封閉性原則。那麼，是否還有其他可能的案例可以更有力的擊倒封閉性原則，或者前述兩個案例的支持者可以有再更進一步的回應呢？大家不妨可以在閒暇之餘想想看。
參考文獻
- Dretske, F. 1970. “Epistemic Operators”. Journal of Philosophy 69: 1007–23.
- Kroedel, T. 2012. “The lottery paradox, epistemic justification and permissibility”. Analysis 72 (1): 57-60.
- Dretske原來案例的目的是要探討知識的封閉性（knowledge closure），在本文我將他的例子做了一些修改，改為討論合理信念的封閉性。
- 關於相干情境的討論，也可以繼續參考Dretske（1970），同樣需要注意的是，Dretske原文討論脈絡是針對知識，而我則將討論的方向轉移到針對合理信念。
- 這個案例最初版本來自於Kroedel（2012）。
- 當然，除非能夠提出清楚的判準說明為什麼蛋糕案例中，媽媽要留一塊給其他人吃的考量是相干的，否則光是直覺式的回應，要說服封閉性原則的支持者，大概還是不夠的。但是基於文章的篇幅，關於情境相關性的討論讓我們先就此打住。
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