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張智皓/如果我把兩塊蛋糕都吃了:兩個案例看封閉原則問題

假設有個樂透活動,在一千萬張彩券中抽一張得獎。因為中獎機率極低,所以對於每一張彩券,我都可以合理相信它不會中獎,然而依照規則,我又應該相信至少有一張會中獎,這會構成矛盾嗎?在先前文章裡我們討論過,若透過放棄「合理相信原則」來解決樂透悖論,有哪些可能的方案,以及那些方案會有哪些後果,有些後果看起來不是很讓人滿意。在這篇文章,讓我們來考慮以「封閉性原則」開展的另一解題方向。

放棄封閉性原則

封閉性原則在知識論上相當重要,看起來也很符合直覺:

封閉性原則:如果P可以被S合理相信,而且Q也可以被S合理相信,則P與Q邏輯上蘊含的結果也可以被S合理相信。

這個原則在日常生活很常見:如果我可以合理相信教室裡有50名學生,我也可以合理相信教室有一半的學生學號是單號;那麼,我就可以合理相信班上有25名學生的學號是單號。結論可以從「教室裡有50名學生」與「教室有一半的學生學號是單號」經過邏輯推論出來。

封閉性原則在樂透悖論中扮演關鍵角色——我們基於合理相信原則而可以合理相信任意單一號碼的彩券沒中獎,從這些前提出發,封閉性原則可以得出「所有的彩券都沒中獎」這個結論,因為這個結論是任意單一號碼的彩券沒中獎的邏輯結果。

放棄封閉性原則,意味著就算我們可以合理相信任意單一號碼彩券沒中獎,這也不代表我們可以合理相信所有的彩券都沒中獎,因為前者不蘊含後者。然而,我們有沒有什麼好的理由放棄這個原則呢?

有些人可能為認為,光是這個原則會造成樂透悖論,就足以構成我們放棄它的好理由。但這顯然不足夠,我們不能僅因為放棄它可以解決樂透悖論,所以就以此為理由放棄它。否則,我們也同樣有好理由放棄其他原則(比方說,「合理相信原則」)不是嗎?要放棄封閉性原則,我們會需要其他獨立的理由或反例。

斑馬案例

讓我們參考Dretske(1970)的看法。1

斑馬案例:小明到動物園玩,看到面前的柵欄內有一隻斑馬,旁邊的告示牌也寫那是一隻斑馬。小明可以合理相信自己的視覺可靠,也可以合理相信告示牌是真的。但是小明未必可以合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」,因為小明似乎沒有任何證據可以排除這種可能性。

在這個例子中,基於小明的視覺經驗,以及旁邊的告示牌,我們會同意小明可以合理相信「柵欄裡有一隻斑馬」,接著,如果柵欄裡真的有一隻斑馬,則意味著柵欄裡不是一隻偽裝成斑馬的驢子。基於小明知道斑馬與驢子的差別,所以小明也可以合理相信「如果柵欄裡有一隻斑馬,則牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」。

如果封閉性原則是對的,那麼小明理當可以基於合理相信「柵欄裡有一隻斑馬」,與「如果柵欄裡有一隻斑馬,則牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」,而合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」,因為後者是前面兩個合理信念邏輯蘊含的結果。我們會同意在這個例子中,小明的確可以合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」嗎?

許多人似乎沒有這種直覺。他們認為小明不能合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」,因為小明沒有證據排除這可能性:他的視覺經驗不足以排除這點,而旁邊的告示牌也不行。因此,小明不能合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」。如果他們是對的,封閉性原則就有反例。

可能會有人覺得這個例子說服力不足,因為這邊似乎沒有哪一方的直覺是壓倒性的獲勝。有些人覺得小明可以合理相信「牠不是一隻偽裝成斑馬的驢子」,因為「偽裝成斑馬的驢子」這種可能性在此情境中是不相干(irrelevant)的,要合理相信一個命題,只需要針對與命題相關的情境,提供相應的證據即可,而不需要對所有可能否定命題的情境都有相應的證據。比方說,在看到面前的水杯時,我不需要找證據去排除「自己是被瘋狂科學家養在營養液中的大腦」這樣的情境,即可合理相信我面前有個水杯。2

蛋糕案例

若覺得斑馬案例太有爭議性,我們也可考慮另一個可能反例:

蛋糕案例:媽媽告訴小明桌上有兩塊蛋糕,小明可以選擇把A蛋糕吃掉,也可以選擇把B蛋糕吃掉。因此,小明可以合理相信「吃掉A蛋糕不會被罵」,也可以合理相信「吃掉B蛋糕不會被罵」,但這不代表小明可以合理相信「兩塊蛋糕都吃掉不會被罵」,因為媽媽可能只允許他選一塊吃,而非兩塊都吃。3

在蛋糕案例中,基於媽媽告訴小明可以選擇吃A蛋糕,也可以選擇吃B蛋糕,我們會同意小明可以合理相信「吃掉A蛋糕不會被罵」,也可以合理相信「吃掉B蛋糕不會被罵」。如果封閉性原則是對的,這似乎也代表了小明可以合理相信「兩塊蛋糕都吃掉不會被罵」。然而,這樣的結果可能是有問題的,媽媽並沒有說小明可以兩塊都吃掉,有可能媽媽只容許小明吃一塊,另外一塊要分給其他人吃。

或許有人會想:在蛋糕案例中若把「媽媽要留一塊蛋糕給其他人」視為不相干的情境,小明就不需要排除這個可能性。如此,小明還是可以合理相信「兩塊蛋糕都吃掉不會被罵」。但這個替封閉性原則說話的方法,可能沒辦法像斑馬案例中那樣有說服力。

雖然我們並沒有提到如何判斷情境是否相關,但我們至少可以有一些初步的直覺來判斷這點。考慮面前的斑馬是驢子偽裝的可能性,或者自己是被科學家養在營養液裡的大腦的可能性,比起媽媽要留一塊蛋糕給其他人吃的可能性。我們還是會同意後者是比較相干的考量,或至少不是胡思亂想,而前者則否。4

然而,這是否意味著封閉性原則真的遭遇反例呢?或許未必。讓我們回到封閉性原則的定義,蛋糕案例要成為反例,根據封閉性原則,必須滿足「吃掉A蛋糕不會被罵」與「吃掉B蛋糕不會被罵」邏輯上蘊含「兩塊蛋糕都吃掉不會被罵」。但是,這點真的成立嗎?似乎不會。為什麼?這必須要回到「邏輯蘊含」這個概念來談。一般而言,「邏輯蘊含」是為了真值保存(truth preserving)。意思是指:當前提為真時,其邏輯蘊含的結果也可以被保證為真。

回到蛋糕案例,假設「吃掉A蛋糕不會被罵」與「吃掉B蛋糕不會被罵」都是真的,是否可以保證「兩塊蛋糕都吃掉不會被罵」?顯然不會,因為有可能你只被允許吃一塊蛋糕(不論是A或B)。如果前面兩個命題的真無法保證後者的真,那就表示前面兩個命題並不邏輯蘊含後者。如此,封閉性原則的支持者可以說,基於「邏輯蘊含」這項條件沒有被滿足,蛋糕案例無法成為反例,因此,封閉性原則依然尚未受到挑戰。

小結

本文提供了兩個獨立於樂透悖論的例子,分別為斑馬案例與蛋糕案例,這兩個案例一開始似乎都顯示了封閉性原則是有問題的。然而,經過前述分析,這兩個例子可能都存在有爭議,尚無法有力的擊倒封閉性原則。那麼,是否還有其他可能的案例可以更有力的擊倒封閉性原則,或者前述兩個案例的支持者可以有再更進一步的回應呢?大家不妨可以在閒暇之餘想想看。

參考文獻

  1. Dretske, F. 1970. “Epistemic Operators”. Journal of Philosophy 69: 1007–23.
  2. Kroedel, T. 2012. “The lottery paradox, epistemic justification and permissibility”. Analysis 72 (1): 57-60.


  • 作者為中正大學哲學所博士生,《今天學哲學了沒》作者,偶而更新部落格「無法哲學」。在念哲學的過程中發現哲學很有價值,所以希望推廣哲學,讓其他人也認同哲學的價值。
  • 更多:WebFB

  • Dretske原來案例的目的是要探討知識的封閉性(knowledge closure),在本文我將他的例子做了一些修改,改為討論合理信念的封閉性。
  • 關於相干情境的討論,也可以繼續參考Dretske(1970),同樣需要注意的是,Dretske原文討論脈絡是針對知識,而我則將討論的方向轉移到針對合理信念。

  • 這個案例最初版本來自於Kroedel(2012)。
  • 當然,除非能夠提出清楚的判準說明為什麼蛋糕案例中,媽媽要留一塊給其他人吃的考量是相干的,否則光是直覺式的回應,要說服封閉性原則的支持者,大概還是不夠的。但是基於文章的篇幅,關於情境相關性的討論讓我們先就此打住。

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