親愛的網友:
為確保您享有最佳的瀏覽體驗,建議您提升您的 IE 瀏覽器至最新版本,感謝您的配合。

【數學力】政治人物的形象是貝氏定理算出來的

photo cedit:馬英九總統臉書專頁 (示意圖)
photo cedit:馬英九總統臉書專頁 (示意圖)

某本數學科普書裡的序裡有這麼一句話:

「承認吧,大多數學工作者都不喜歡數學。」

看到這話,我在心裡無聲驚呼著。可以嗎?真的可以就這麼講出來了嗎?

我投贊成一票,我沒有那麼喜歡數學。一直提到數學,只是因為我覺得「實用」罷了。那感覺就好像漂亮學妹身旁的工具人,工具人很好用,遇到什麼問題都可以找他幫忙,但學妹是不會喜歡工具人的,從一開始就註定不‧會‧喜‧歡的。

這話不是什麼個人經驗,一般來說都是這樣的吧,真的不是個人經驗

數學工具人幫你描述桌子

作為工具人,數學的最大用處是「讓一切變得清楚」。舉例來說,如果今天玩猜謎遊戲:朋友根據你的描述,畫出你所看到的物品。題目是下圖的桌子,請問各位會怎麼描述呢?

圖/ingimage
圖/ingimage

「長方形的桌子」、「有四隻腳」

不用通靈也可以猜到必然有些人會這麼說吧。現在,加上一個限制來提升遊戲難度:不得出現任何跟數字、幾何形狀有關的詞句。

請問各位現在該怎麼描述呢?

考慮另一個狀況,倘若往限制的反方向走去,不僅沒限制,還體貼地在圖中標示桌子長、寬、高。請問各位在描述時會加入這些數據嗎?

從這一連串的問題,我們可以看到,就算是「形容桌子」這麼簡單的一件事情,我們也無意識用上了好幾個數學知識。使用的更多,就可以描述得更清楚。

失去信任的過程

我們再看一則進階的例子,搭配稍微進階的數學——機率。這幾十年,台灣經歷了政黨輪替。我們總是對當選的政治人物寄予厚望,而他們大多也辜負了我們的期望,到後來甚至覺得失望才是正常的,於是他們好像某種程度上又符合期望了。從英明神武到過街老鼠,這些政治人物的形象究竟是怎麼轉變的,機率可以幫我們解釋清楚。

機率簡介

回答這個題目前,得先來一段機率的定義解釋:假如X跟Y是兩個事件,X是「在信義區和擦身而過的第五位OL求婚成功」,Y是「執行者是金城武」。那麼:

  • P(X):無差別求婚的成功機率。
  • P(X|Y):金城武來做無差別求婚的成功機率。暫時撇開對世界不公平的怨嘆,我們知道P(X|Y)絕對遠遠大於P(X)。P(X|Y)稱之為「條件機率」,意思是Y條件發生下,X事件的機率。跟X事件的原始機率是完全不同的。

男性讀者們擦乾眼淚,女性讀者們暫停妄想,我們繼續來檢驗政治人物的言行了。

貝氏定理

回到政治人物形象由紅翻黑的分析,我們要使用「貝氏定理」。

貝氏定理是一個非常好用的工具,概念為:我們定義A事件為「某人是政治家」,P(A)是我們認為這件事的可能性,稱為事前機率。「事前」是相對B事件還沒發生以前的看法。當B事件發生,便該根據B事件去重新修正對A的看法,得到事後機率P(A|B)。

跳過公式推導直接寫出貝氏定理如下:

舉例來說,假設今天大家對某位政治人物充滿信心,P(A)=0.8,認為他有八成的機率是政治家,只有P(Ac)=1-P(A)=0.2的機率是政客。接著,發生了一件意外,他投入過度的資源照顧傷患。我們將他一連串救災行為定義為事件B,然後重新來檢驗這位政治人物。等號右邊P(B|A)的意思是「當某人是政治家時,會過度使用資源救災的機率」,一位政治家知道手中的資源有限,永遠都該做出最正確、公平的取捨,並考量到各界。可以想見此值不高,可能P(B|A)=0.4。相反,P(B|Ac)是「當某人是政客時,會過度救災的機率」,這個值就蠻高的了。畢竟政客著重選舉,倘若過度救災能增加在特定族群的支持率,那就該做。在此假設P(B|Ac)= 0.7。

將這些數字帶入貝氏定理,可以得到:

於是,經過一次糟糕政策後,我們對政治人物的信心下降,原本認為他有80%的機率是一位政治家,現在剩70%。這次得到的事後機率,就是下一次事件發生時的事前機率。

新事件D很快就來了——官商勾結。

潔身自愛的政治家不可能跟商人勾結,圖謀百姓利益,除非發生了什麼想破頭也想不出來的理由(例如握有裸照之類的?),合理估計P(D|A)非常低,只有0.1。但要是政客就不一樣了,官商勾結是政客的本分,他不做我們還有點納悶。因此P(D|Ac)=0.9。搭配經過救災後的政治家機率只剩P(A)=0.7,第二次貝氏定理告訴我們:

可以看見,「官商勾結」將再度重挫政治人物的信譽。就算我們之前認為這人多值得信任,但當他跟不良廠商勾結,我們便察覺不對勁,只有政客才會這樣做,政治家去查不良廠商都來不及了,哪還會讓這些紅頂商人登堂入室。於是,原本有70%機率是政治家的人,經過這次官商勾結,還是政治家的機率低到只剩21%。

這邊有個重點是,很多人會因為單一事件就斷定某人是政客或政治家。這是不正確的。貝式定律告訴我們該充分利用事前機率、條件機率,不斷修正事後機率。這一連串的推論其實正是「形象」建立的過程。人民聽其言、觀其行,經過一連串的行為,認識到一位政治人物的真面目。貝氏定理只是用數學語言,更精確描述了整個流程。

不僅可以檢驗政治人物,在愛情裡也可以派上用場

數學真的是個不錯的工具人對吧。我提議不妨規定政治人物每年1月都參加大學學測,考不及格就要去參加補修。如果每位政治人物都能善用數學這位工具人,我想我們的政治一定會變得更好。就算沒有變好,考試跟補修過程也可以做成一套綜藝科普節目,既有不錯的收視率,又能讓民眾接觸到更多數學。

留言區
TOP