【數學力】政治人物的形象是貝氏定理算出來的

賴以威 09 Jul, 2015

某本數學科普書裡的序裡有這麼一句話：

「承認吧，大多數學工作者都不喜歡數學。」

看到這話，我在心裡無聲驚呼著。可以嗎？真的可以就這麼講出來了嗎？

我投贊成一票，我沒有那麼喜歡數學。一直提到數學，只是因為我覺得「實用」罷了。那感覺就好像漂亮學妹身旁的工具人，工具人很好用，遇到什麼問題都可以找他幫忙，但學妹是不會喜歡工具人的，從一開始就註定不‧會‧喜‧歡的。

這話不是什麼個人經驗，一般來說都是這樣的吧，真的不是個人經驗。

數學工具人幫你描述桌子

作為工具人，數學的最大用處是「讓一切變得清楚」。舉例來說，如果今天玩猜謎遊戲：朋友根據你的描述，畫出你所看到的物品。題目是下圖的桌子，請問各位會怎麼描述呢？

「長方形的桌子」、「有四隻腳」

不用通靈也可以猜到必然有些人會這麼說吧。現在，加上一個限制來提升遊戲難度：不得出現任何跟數字、幾何形狀有關的詞句。

請問各位現在該怎麼描述呢？

考慮另一個狀況，倘若往限制的反方向走去，不僅沒限制，還體貼地在圖中標示桌子長、寬、高。請問各位在描述時會加入這些數據嗎？

從這一連串的問題，我們可以看到，就算是「形容桌子」這麼簡單的一件事情，我們也無意識用上了好幾個數學知識。使用的更多，就可以描述得更清楚。

失去信任的過程

我們再看一則進階的例子，搭配稍微進階的數學——機率。這幾十年，台灣經歷了政黨輪替。我們總是對當選的政治人物寄予厚望，而他們大多也辜負了我們的期望，到後來甚至覺得失望才是正常的，於是他們好像某種程度上又符合期望了。從英明神武到過街老鼠，這些政治人物的形象究竟是怎麼轉變的，機率可以幫我們解釋清楚。

機率簡介

回答這個題目前，得先來一段機率的定義解釋：假如X跟Y是兩個事件，X是「在信義區和擦身而過的第五位OL求婚成功」，Y是「執行者是金城武」。那麼：

P(X)：無差別求婚的成功機率。

P(X|Y)：金城武來做無差別求婚的成功機率。暫時撇開對世界不公平的怨嘆，我們知道P(X|Y)絕對遠遠大於P(X)。P(X|Y)稱之為「條件機率」，意思是Y條件發生下，X事件的機率。跟X事件的原始機率是完全不同的。

男性讀者們擦乾眼淚，女性讀者們暫停妄想，我們繼續來檢驗政治人物的言行了。

貝氏定理

回到政治人物形象由紅翻黑的分析，我們要使用「貝氏定理」。

貝氏定理是一個非常好用的工具，概念為：我們定義A事件為「某人是政治家」，P(A)是我們認為這件事的可能性，稱為事前機率。「事前」是相對B事件還沒發生以前的看法。當B事件發生，便該根據B事件去重新修正對A的看法，得到事後機率P(A|B)。

跳過公式推導直接寫出貝氏定理如下：

舉例來說，假設今天大家對某位政治人物充滿信心，P(A)=0.8，認為他有八成的機率是政治家，只有P(A^c)=1-P(A)=0.2的機率是政客。接著，發生了一件意外，他投入過度的資源照顧傷患。我們將他一連串救災行為定義為事件B，然後重新來檢驗這位政治人物。等號右邊P(B|A)的意思是「當某人是政治家時，會過度使用資源救災的機率」，一位政治家知道手中的資源有限，永遠都該做出最正確、公平的取捨，並考量到各界。可以想見此值不高，可能P(B|A)=0.4。相反，P(B|A^c)是「當某人是政客時，會過度救災的機率」，這個值就蠻高的了。畢竟政客著重選舉，倘若過度救災能增加在特定族群的支持率，那就該做。在此假設P(B|A^c)= 0.7。

將這些數字帶入貝氏定理，可以得到：

於是，經過一次糟糕政策後，我們對政治人物的信心下降，原本認為他有80%的機率是一位政治家，現在剩70%。這次得到的事後機率，就是下一次事件發生時的事前機率。

新事件D很快就來了——官商勾結。

潔身自愛的政治家不可能跟商人勾結，圖謀百姓利益，除非發生了什麼想破頭也想不出來的理由(例如握有裸照之類的？)，合理估計P(D|A)非常低，只有0.1。但要是政客就不一樣了，官商勾結是政客的本分，他不做我們還有點納悶。因此P(D|A^c)=0.9。搭配經過救災後的政治家機率只剩P(A)=0.7，第二次貝氏定理告訴我們：