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【數學力】神啊!請給我一個聖筊

圖/momo (CC BY 2.0)
圖/momo (CC BY 2.0)

數學與宗教乍看之下是光譜的兩個極端,前者用理性與邏輯來解釋各種現象,後者訴諸信仰與神祇以回答人生的大哉問。但事實上不管是東方或西方,數學與宗教之間曾出現過好幾次時下最流行的「跨領域整合」。

在歐洲,當馬丁路德推行宗教改革,造成傳統羅馬教廷權威性受到影響時,傳統的一方選擇了數學作為宗教戰爭的工具之一。他們用數學修正了當時混亂的曆法,讓信仰新宗教的人民也不得不接受,變相承認傳統教會的正統性。他們大肆宣揚數學的嚴謹邏輯觀,證明一切混亂都被驅除,自古流傳下來的規則才能替社會帶來秩序。數學如此,宗教也如此。

在東方,「宗教X數學」則合力推出了一項極受歡迎的產品——筊杯。

擲筊是一種道教信仰問卜的儀式,普遍流傳於華人民間傳統社會。「筊杯」是一種占卜工具……儀式內容是將兩個約掌大的半月形,一面平坦、一面圓弧凸出之筊杯擲出,以探測神鬼之意。

擲筊有4種組合:哭筊(平平)、聖筊(平凸)、聖筊(凸平)、笑筊(凸凸)。假設每種組合出現的可能性相同,則每一種的機率皆為100%/4=25%。到這邊為止都是簡單到各位看一看恐怕會心生不屑之意,覺得我在騙稿費,事實上也有一點這麼意思,還請見諒。

不過接下來就是認真的部分了。

根據行天宮的官方資料,笑筊表示信眾陳述不清,可仔細思考後重新向神明請示。

這麼一來,擲出聖筊的機率將從直覺上的50%提升到67%。

圖/賴以威製
圖/賴以威製

我們可以將擲筊畫成一張樹狀圖。當有人一直擲出笑筊時,樹狀圖會無限延展下去,直到擲出哭筊或聖筊。為何當笑筊代表重擲時,聖筊的機率會提升17%,來到67%呢?請看以下的分析:

第一次擲出聖筊的機率是1/2。

第一次擲出笑筊、進入第二輪的機率是1/4。

因此,「第二輪擲出聖筊」的機率便成了1/4×1/2=1/8。

共計兩輪內擲出聖筊的機率為1/2+1/8=5/8=62.5%,已經比50%提升一些了。這還沒考慮到第二輪再次擲出笑筊得繼續擲下去的狀況(神明要你多運動平常只滑手機的手腕)。

第三輪擲出聖筊的機率是:

(前兩輪都擲出笑筊的機率)×(第三輪擲出聖筊的機率)=(1/4×1/4)×1/2=1/32。

第四輪擲出聖筊的機率是:

(前三輪都擲出笑筊的機率)×(第三輪擲出聖筊的機率)=(1/4×1/4×1/4)×1/2=1/128。

依此類推下去可以得到一組「無窮等比級數」:首項a0是1/2,公比r是1/4,再利用高一上學期教的無窮等比級數和公式:

無窮等比級數和=首項/(1-公比)

帶入公式(忽然有種在當補習班老師的感覺),擲出聖筊的機率1/2+1/8+1/32+1/128+……=2/3,約是67%。

看起來跟生活毫無關聯的無窮等比級數,其實一直存在於香煙繚繞的廟宇中,庇佑著每一位善男信女。

前面的分析為了方便起見,將擲出凸面跟平面的機率設定為各50%。這樣的「方便主義假設」在數學分析中很常見,有時現實狀況太複雜,為了能掌握事物輪廓,我們會做一些簡化。簡化越多,分析結果就越簡潔明瞭、可讀性越高,得以看出參數之間的關係,但相對也會失去一些真實性。如何在「可讀性」與「真實」之中取得平衡,是數學分析中相當重要的一個課題。

不好意思有些離題了。我們回來看看,當凸面與平面機率不一樣時會發生什麼事。

我查到一篇台中縣第47屆中小學科展。科展實驗中,小學生擲筊擲了一千次筊,其中凸面次數為529次。根據筊的形狀、擲筊方式,此數據會略有變化,不過都在45%~55%之內。

有趣的是,儘管凸(平)面機率有將近10%的誤差,但對應的聖筊機率卻是穩定的49.5%~50%,只有0.5%的誤差。這是因為聖筊由凸面與平面組成,當凸面機率降低,平面機率會對應升高,導致聖筊機率相對穩定。倘若將凸面機率的變化範圍增加到30%~70%,聖筊的機率範圍依然落在42%~50%,只有8%的誤差。

圖/賴以威製
圖/賴以威製

透過這樣的數學機制,不管是哪間廟的筊杯、哪種擲法都不會差太多,用不著擔心某間廟的神明特別不愛給聖筊,或廟旁開設了「擲筊補習班,幫你讓神明say yes」的狀況。

總結來說,小小的兩枚筊杯裡蘊藏了許多利用數學的巧思:透過笑筊增加聖筊的機率,讓自己請示的事情更能得到神明的肯定(前提是你得記得用正面問法,千萬不要問神明「我這次考試會被當嗎?」,否則要是神明一忙,請機率大神來幫你解惑,你就有67%的機率要帶著沉重的心情離開廟了)。一次必須擲一組兩枚的筊杯,可以有效降低筊杯製造過程、信眾擲筊手法不同帶來的誤差。

你可以說這是古人智慧,也可以說是數學之神的加持。

進階閱讀》

接下來是「算幾不等式」與「拋物線」的數學密集處,建議睡前閱讀,或供學校老師出題參考。另一個數學上的有趣之處是:聖筊機率最大值恰好出現在凸(平)面機率=50%。

我們可以用方才圖裡的拋物線,以配方法求出拋物線頂點所在。

也可以用國高中的「算幾不等式」來求。算幾不等式告訴我們,兩個數字的相乘開根號(幾何平均),小於等於兩個數字相加除以二(算術平均)。

聖筊機率=2×凸面機率×平面機率。

剛好是(凸面機率)與(平面機率)的幾何平均2倍。

幾何平均最大值發生在算幾不等式等號成立,也就是幾何平均數等於算術平均數的時候。什麼時候「兩個數字相乘開根號=兩個數字相加除以二」呢?

答案是兩個數字相等時。

換句話說,聖筊機率最大值就是發生凸面跟平面機率相等。

一副筊杯裡有等比級數、無窮、統計、機率、拋物線、算幾不等式,神明根本是數學狂熱份子。

 


 

參考資料:台中縣第四十七屆中小學科學展覽會•生活應用科•高小組《神啊!請給我一個聖筊》

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